Bilangan Kompleks Bentuk Rectangular dan Polar

Postingan ini menjelaskan tentang salah satu teori penting yang harus dipahami oleh mahasiswa teknik listrik. Diperlukan pada analisa rangkaian listrik AC untuk merepresentasikan nilai dan bentuk tegangan serta arus suatu rangkaian tunak sinusoidal. Bisa dibayangkan apabila teori ini tidak dikuasai, sudah pasti soal-soal tentang rangkaian tidak dapat diselesaikan. Let's we learn together..

Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks merupakan suatu bilangan yang memiliki komponen nyata dan komponen imaginer. Dapat dituliskan :

                        V = a + jb

Dimana, a = bilangan nyata

                b = bilangan nyata

                j = bilangan imajiner

Secara grafis dapat dilihat pada gambar 1, bilangan nyata terdapat pada sumbu nyata (X) dan bilangan imajiner terdapat pada sumbu imajiner (Y).  Bentuk representasi ini disebut bentuk sudut siku (rectangular).

Gambar 1

Keterangan :

ρ = garis yang terbentuk dari titik awal ke titik V

α = sudut yang terbentuk dari garis ρ dengan sumbu nyata X

Bilangan Kompleks Bentuk Polar (Fasor)

Bentuk Polar merupakan bilangan kompleks yang diturunkan dari bentuk rectangular (sudut siku).

a = ρ.cosθ  dan  b = ρ.sinθ

V = a + jb

V = ρ cosθ + j ρ sinθ

V = ρ (cosθ + jsinθ)

Persamaan bentuk polar nya yaitu:

Mengubah bentuk Sudut Siku (Rectangular) ke bentuk Fasor (Polar) dan sebaliknya

Ada beberapa persamaan pokok yang harus dihafal untuk melakukan perubahan pada bilangan kompleks, yaitu merubah bentuk rectangular ke bentuk polar maupun sebaliknya. Berikut persamaan2 nya :

-         - Transformasi bentuk Polar ke Rectangular

-          -Transformasi bentuk Rectangular ke Polar

Persamaan transformasi bentuk rectangular ke polar yang terlalu banyak menyulitkan kita untuk menghafalnya. Tetapi tidak sesulit yang dilihat, cukup pahami persamaan rectangular berdasarkan letak quadran pada koordinat kartesius. Persamaan bentuk rectangular untuk masing-masing quadran dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

4 Quadran pada koordinat kartesius

Quadran I

Quadran II

Quadran III

Quadran IV

Penjumlahan, Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks

1. Penjumlahan

Dalam operasi penjumlahan bilangan kompleks menggunakan bentuk Rectangular

V₁ = a₁ + jb₁  dan V₂ = a₂ + jb₂

V₁ + V₂ = (a₁ + a₂) + j(b₁ +b₂)

Contoh :

Jumlahkanlah bilangan kompleks dibawah ini

A = 3 + j5 , B = 4 – j8

Jawab :

A + B = (3 + 4) + j(5 – 8)

A + B = 7 – j3

2. Perkalian

Untuk operasi perkalian bilangan kompleks lebih mudah jika menggunakan bentuk Polar

ρ₁ = a < θ₁ dan ρ₂ = b < θ₂

ρ₁ . ρ₂ = (a . b) < (θ₁ + θ₂)

Contoh:

Lakukan perkalian pada bilangan kompleks berikut

ρ₁ = 15 < 30⁰  , ρ₂ = 20 < 45⁰

Jawab :

ρ₁ . ρ₂ = (15.20) < (30⁰ + 45⁰)

ρ₁ . ρ₂ = 300 < 75⁰

3. Pembagian

Pada operasi pembagian bilangan kompleks lebih mudah menggunakan bentuk Polar, sama halnya saat operasi perkalian

dan

Contoh:

Lakukan pembagian untuk bilangan kompleks berikut

A = 15 < 30⁰  , B = 20 < 45⁰

Jawab :

Contoh Soal Penggunaan Bilangan Kompleks Pada Rangkaian Listrik

Dalam menyelesaikan soal rangkaian listrik kita harus menguasai perubahan/ transformasi bentuk bilangan kompleks (rectangular ke polar atau sebaliknya), karena untuk menyelesaikan satu soal rangkaian listrik akan membutuhkan perubahan bentuk bilangan kompleks agar dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Berikut contoh soal serta penyelesaiannya agar pembaca dapat lebih memahami penggunaan bilangan kompleks pada rangkaian listrik.

Hitunglah besar arus I yang mengalir pada rangkaian

Penyelesaian

*NOTE

• Setiap operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks gunakan dalam bentuk Rectangular (sudut siku)
• Setiap operasi perkalian dan pembagian bilangan kompleks gunakan dalam bentuk Polar (fasor)